離婚したい一心で『離婚してくれるんだったら、養育費は要らないから』と約束してしまった場合、養育費は請求できないのでしょうか

この合意については、『子供から親に対する請求権』という親子の関係と『子供を養育監護している親から子供を養育監護していない親に対する請求権』という親同士の関係に分けて考える必要があります。

『子供から親に対する請求権』からいうと未成年の子供には、親に扶養される当然の権利があり親には、子供を扶養する義務があります。子ども自身が持っている権利を親だからといって勝手に放棄することはできません。

この請求権の放棄という約束は、子供の権利から言うと無効という事になります。

ですが、『子供を養育監護している側から子供を養育監護してない親に対する請求権』という観点で見ると、自分自身の請求権を自ら放棄してしまっているわけですから、あとになって、これまでにかかった過去の養育費の分担を相手側に請求するのは難しいといえます。

ただ、子供の請求権は、失われるものではないので、将来にかかる養育費に関しては（条件付ではあるが）子供から請求するという形では認められる可能性はあります。
（親が法定代理人となって請求）

ただし、無条件で認められるわけではなく、『離婚時の合意を最優先とする。

ただし、その合意の内容が著しく子供に不利益をもたらすものであった、離婚後に事情が変わって、その合意の内容を維持することが出来なくなった場合には子供からの請求も認める』という審判例もあります。